Obéir sans résistance. Se soumettre
Notre locution date du 16e siècle (elle a été opposée à « filer rude »), mais le verbe « filer » avait, dès le 15e, le sens de « se comporter de manière constante ».
Autrement dit, celui qui « filait doux » avait continûment un comportement doux, sous-entendu sans rébellion vis-à-vis de celui qui cherchait à lui imposer ses volontés, ce qui suffit à expliquer le sens de l'expression.
Mais les lexicographes insistent sur le fait qu'il ne faut pas également oublier l'influence de l'image du « fil » qu'il faut dérouler lentement, doucement afin de ne pas le rompre, pour qu'il garde sa continuité.