Au hasard
Ici, le « bonheur » n'est pas à comprendre dans le sens de satisfaction, mais de chance.
En effet, ce mot est issu de « bon heur », « heur » signifiant « chance » par opposition au « mal-heur » (malchance).
L'utilisation de l'adjectif « petit » serait une façon de dire que l'on demande le minimum, tout en espérant obtenir le maximum.
« Au petit bonheur la chance » sous-entend que l'on compte sur le hasard pour satisfaire une attente.