La justification est très simple. Le « propre » ici présent n'a rien à voir avec la saleté. Ce mot vient du latin « proprius » qui signifiait « qui n'appartient qu'à soi, que l'on ne partage pas avec d'autres » (et on le retrouve, entre autres, dans « nom propre »).
Or, n'est-ce pas exactement le cas de vos mains, n'est-ce pas dans vos mains à vous et à personne d'autre que ce quelque chose sera déposé ?
Lorsqu'on vous remet quelque chose « en mains propres », on vous le donne directement à vous, sans utiliser des moyens indirects comme une personne tierce ou bien un envoi postal, par exemple.