Se débarrasser (de quelqu'un) avec brusquerie, Envoyer promener
Aujourd'hui, le verbe « paître » est principalement intransitif, puisqu'on ne paît plus les animaux mais qu'on les fait paître lorsqu'on les mène aux champs brouter cette bonne herbe bien verte qui fait saliver tous les ruminants.
Et comme les champs « broutables » ne sont pas forcément à proximité immédiate de la ferme, faire paître les animaux, c'est souvent les éloigner vers un champ à distance.
Il est donc aisé d'imaginer que notre expression est une métaphore de cet éloignement, l'importun étant brutalement envoyé au loin pour éviter qu'il continue à déranger.