Chercher à séduire une autre personne.
Elle vient tout naturellement de l'époque où il était de bon ton pour les nobles de se faire voir à la cour du roi, dont la fréquentation assidue faisait d'eux des courtisans.
Il s'y développe le bon usage et le jargon des courtisans : ils visent à être « bien en cour » et pour cela « font leur cour » au roi. L'expression a disparu avec la monarchie, mais on continue d'employer « faire la cour » dans le vocabulaire amoureux.
On notera la place des femmes au sein de la cour, et donc le glissement de sens amoureux provient précisément de la place toute spéciale qu'elles y occupaient.