Aider quelqu'un, mettre quelqu'un dans une situation favorable à la réussite de quelque chose, donner un coup de pouce, aider à faire le premier pas dans une aventure, mettre en selle.
Dès le 11e siècle, « étrier » désigne un anneau métallique qui soutient le pied du cavalier qui ne suit pas un régime sans selle.
Et même si on ne pratique pas l'équitation, on a tous vu cette image du cavalier qui, seul ou aidé par quelqu'un s'il est novice, place un de ses pieds dans l'étrier sur le côté de sa monture et, en prenant appui dessus, s'en aide pour se hisser en selle.
Dans cet usage, l'étrier est assimilé à un marchepied ou à une courte échelle, autant de moyens qui permettent à quelqu'un d'atteindre son but.
Nous avons donc affaire ici à une métaphore venue du monde équestre et née au début de la seconde moitié du 18e siècle.
Dans la version avec « avoir le pied à l’étrier », la personne se débrouille par ses propres moyens, alors que dans celle avec « mettre le pied à l’étrier » est, elle, aidée par quelqu'un d'autre.
Mais dans les deux cas, tout comme l'étrier est le moyen qui aide le cavalier à réussir sa montée en selle, il est ici une représentation du moyen ou de l'aide qui va guider la personne vers la réussite de ce qu'elle a entrepris.