Tomber ou arriver juste, exactement, comme il faut, au bon moment.
Commençons par « tomber pile ».
Notre « pile », ici est l'envers d'une pièce de monnaie (rappelez-vous ces tirages au sort par « pile ou face ». Autrefois, quand quelqu'un « tombait pile », c'est qu'il tombait bien (comme la pièce qui retombe sur le dos, donc « face » visible.
Avec « au poil », la précision ou l'exactitude sont également bien présentes. On place cette expression au 19e siècle, avant que la photographie ne se développe, à une époque où les peintres chargés de faire les portraits devaient le faire avec une grande précision, « sans qu'il manque un poil » reproduit sur leur œuvre.
Puis, beaucoup plus récemment, l'émission satirique les « Guignols de l'Info » est arrivée sur nos écrans et c'est un mélange des deux expressions « tomber pile poil » placé dans la bouche de la marionnette de Jacques Chirac.