Dormir profondément.
Contrairement à l'arbre auquel elle appartenait et qui pouvait être brassé par le vent, la souche est en effet un parfait symbole d'inertie ou d'immobilisme total : rien ne l'ébranle.
C'est pour cela que, dès la fin du 12e siècle, est apparue l'expression « gésir / rester comme une souche » qui voulait dire « demeurer inerte, sans bouger ».
Puis, notre locution est apparue bien plus tard, au 20e siècle, avec le sens de « dormir dans une immobilité totale » avant, assez logiquement, de prendre le sens indiqué, celui qui dort très profondément étant en général complètement immobile.