Être occupé à...
Il ne s’agit absolument pas de « train » mais du mot « entrain » (d’entraînement).
Voilà une locution adverbiale dont la forme nous vient du 15e siècle, mais dont le sens a évolué au fil du temps.
À la fin du 15e, « entrain » veut dire « en action », « en mouvement » ou encore « en cours d'exécution ». Il fallait donc un certain entrain pour être « en train ».